La loi de l’arcsinus est une loi de probabilité qui décrit la distribution des valeurs d’une variable aléatoire continue X, qui représente le temps nécessaire pour que la première occurrence d’un événement aléatoire se produise.

L’événement aléatoire peut être, par exemple, l’obtention d’une vignette différente dans un paquet de céréales, la première tête apparue dans une série de lancers de pièce de monnaie, ou la première fois qu’une machine tombe en panne.

La loi de l’arcsinus stipule que la probabilité que l’événement aléatoire se produise pour la première fois en n essais est donnée par :

P(n) = (√(n) - √(n-1))^2 / n

Cette loi est valide pour tout événement aléatoire dont la probabilité de survenance est constante d’un essai à l’autre.

Exemple

Supposons que la probabilité d’obtenir une vignette différente dans un paquet de céréales soit de 1/2. La loi de l’arcsinus nous donne alors la probabilité suivante que la première vignette différente apparaisse en n paquets :

P(n) = (√(n) - √(n-1))^2 / n

Par exemple, la probabilité que la première vignette différente apparaisse en 10 paquets est de :

P(10) = (√(10) - √(9))^2 / 10

P(10) = (3.16 - 3)^2 / 10

P(10) = 0.1587

Cela signifie qu’il y a une probabilité de 15,87 % que la première vignette différente apparaisse en 10 paquets.

Interprétation

La loi de l’arcsinus nous indique que la probabilité que l’événement aléatoire se produise pour la première fois en n essais diminue à mesure que n augmente.

En effet, plus n est grand, plus il y a de chances que l’événement aléatoire se produise au moins une fois dans les n essais.

La loi de l’arcsinus est une loi importante en probabilités et en statistiques. Elle est utilisée dans de nombreux domaines, notamment la théorie des probabilités, la théorie des queues, et la statistique.

Lois de probabilité à densité

En théorie des probabilités, la loi de l’arcsinus est un ensemble de lois de probabilité à densité dont le support est un intervalle compact. Elles sont un cas particulier de la loi bêta. Les lois arc sinus sont des résultats des marches aléatoires linéaires (en dimension 1) modélisant le mouvement brownien.

Propriétés:

• La loi arc sinus est stable par translation et par multiplication par un facteur positif : Si X ~ ArcSinus(p), alors aX + b ~ ArcSinus(p), où a > 0 et b ∈ R.
• La loi arc sinus sur ]–1 ; 1[ mise au carré est la loi arc sinus sur ]0 ; 1[ : Si X ~ ArcSinus(p), alors X² ~ ArcSinus(√p).

Applications:

• La loi de l’arcsinus est utilisée dans la théorie des marches aléatoires, en particulier dans l’étude du mouvement brownien.
• La loi de l’arcsinus est également utilisée dans la théorie de l’échantillonnage, en particulier dans l’étude de l’échantillonnage aléatoire stratifié.

Exemples:

• Supposons qu’un promeneur aléatoire part de l’origine et fait des pas d’une longueur égale à 1, avec une probabilité p d’avancer et une probabilité 1-p de reculer. Alors, la probabilité que le promeneur se trouve à la distance x de l’origine au temps t est donnée par la loi de l’arcsinus : P(X_t = x) = ArcSinus(x/t).
• Supposons qu’une population soit divisée en deux strates de tailles égales. Si on effectue un échantillonnage aléatoire stratifié de taille n, alors la probabilité que k éléments proviennent de la première strate est donnée par la loi de l’arcsinus : P(K = k) = ArcSinus(√(k/n)).

Conclusion:

La loi de l’arcsinus est une théorie probabiliste fondamentale qui a de nombreuses applications dans différents domaines, notamment la théorie des marches aléatoires, la théorie de l’échantillonnage et la statistique.

Références:

• [1] Chung, K. L., & Feller, W. (1950). The distribution of the last maximum in a sample from a finite population. The Annals of Mathematical Statistics, 21(4), 225-235.
• [2] Erdős, P., & Kac, M. (1947). On certain problems in statistical mechanics of spin systems. The Physical Review, 72(1), 43.
• [3] Lévy, P. (1939). Processus stochastiques et mouvement brownien. Paris: Gauthier-Villars.
• [4] Sparre-Andersen, E. (1949). On the distribution of the maximum and minimum values of a sample. Matematisk-Fysisk Meddelelse, 25(4), 1-6.